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特征值和特征向量在动态系统分析中是核心工具，广泛用于电力系统小信号稳定性、机械系统模态分析等领域。以下详细介绍计算方法及应用。

1. 求解特征值与特征向量

对于一个$n\times n$的系统矩阵$A$：

右特征向量与特征值

特征值($\lambda$)及对应右特征向量($\mathbf{v}$)满足以下特征方程：
$$A\mathbf{v}=\lambda \mathbf{v}$$

常用数值计算工具：

• Python：numpy.linalg.eig(A)得到特征值和右特征向量。
• MATLAB：[V,D]=eig(A)，其中$D$为特征值对角矩阵，$V$为右特征向量矩阵。

左特征向量

左特征向量($\mathbf{u}$)满足：
$${\mathbf{u}}^{T}A=\lambda {\mathbf{u}}^T$$
或等价于：
$$A^T\mathbf{u}=\lambda \mathbf{u}$$

计算左特征向量可通过对$A^T$求右特征向量实现。

左右特征向量的正交性

左特征向量${\mathbf{u}}_i$与右特征向量${\mathbf{v}}_j$之间满足正交性：
$${\mathbf{u}}_i^T{\mathbf{v}}_j={\delta }_{ij}$$
其中${\delta }_{ij}$为Kronecker delta。

2. 频率与阻尼比计算

假设特征值$\lambda$为复数，表示为：
$$\lambda =\sigma +j\omega$$

• 实部$\sigma$为系统的衰减率；
• 虚部$\omega$为振荡角频率。

频率计算

振荡频率$f$：
$$f=\frac{\omega }{2\pi }$$

阻尼比计算

阻尼比$\zeta$定义为：
$$\zeta =-\frac{\sigma }{\sqrt{{\sigma }^2+{\omega }^2}}$$

• $\zeta >1$：过阻尼系统（无振荡）；
• $\zeta =1$：临界阻尼系统；
• $0<\zeta <1$：欠阻尼系统（伴随振荡）；
• $\zeta =0$：无阻尼（纯振荡）；
• $\zeta <0$：不稳定系统。

3. 示例代码

特征矩阵分析

对于一个复杂的矩阵$A$：

$$A=\left[\begin{array}{cccc}2& 1& 0& 0\\ -1& 3& 1& 0\\ 0& -2& 4& 1\\ 0& 0& -1& 5\end{array}\right]$$

MATLAB代码

以下代码计算矩阵$A$的特征值、左右特征向量、频率及阻尼比：

% 定义复杂的特征矩阵 A
A = [2, 1, 0, 0; -1, 3, 1, 0; 0, -2, 4, 1; 0, 0, -1, 5];% 求解特征值和右特征向量
[V, D] = eig(A);  % V 为右特征向量，D 为特征值对角矩阵% 提取特征值
eigenvalues = diag(D);% 左特征向量（通过 A' 求解特征值和特征向量）
[U, ~] = eig(A');  % U 的列为左特征向量% 计算参与因子矩阵
Participation_Factors = abs(U' * V);% 计算频率和阻尼比
omega = imag(eigenvalues);             % 振荡角频率
sigma = real(eigenvalues);             % 衰减率
frequencies = omega / (2 * pi);        % 振荡频率 (Hz)
damping_ratios = -sigma ./ abs(eigenvalues);  % 阻尼比% 打印结果
disp('特征值:');
disp(eigenvalues);disp('右特征向量:');
disp(V);disp('左特征向量:');
disp(U);disp('频率 (Hz):');
disp(frequencies);disp('阻尼比:');
disp(damping_ratios);% 打印结果
disp('参与因子矩阵:');
disp(Participation_Factors);

特征值的预期结果

运行代码后，特征值可能为：

$${\lambda }_1=5,{\lambda }_2=4+j,{\lambda }_3=4-j,{\lambda }_4=2$$

频率与阻尼比计算

• 对于复数特征值$\lambda =4\pm j$，频率：

$$f=\frac{\omega }{2\pi }=\frac{1}{2\pi }\approx 0.159\text{Hz}$$

• 对应的阻尼比：

$$\zeta =-\frac{\sigma }{\sqrt{{\sigma }^2+{\omega }^2}}=-\frac{4}{\sqrt{4^2+1^2}}=-0.970$$

4. 应用场景

电力系统

在小信号稳定性分析中，通过特征值判断系统是否稳定。

机械系统

进行模态分析，利用频率和阻尼比评估振动特性。

控制系统

分析闭环系统的稳定性、响应速度及振荡行为。