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SMO序列最小化优化算法

Sequential minimal optimization

优化目标是找到一组最优的αi*。一旦求出这些αi*，就很容易计算出权重向量w*和b，并得到分隔超平面了。

1.坐标下降法

求解下面问题

在这里需要求解m个变量$\alpha_i$一般来说是通过梯度下降（这里是求最大值，所以应该叫上升）等算法每一次迭代对所有m个变量αi也就是α向量进行一次性优化。通过误差每次迭代调整α向量中每个元素的值。而坐标上升法（坐标上升与坐标下降可以看做是一对，坐标上升是用来求解max最优化问题，坐标下降用于求min最优化问题）的思想是每次迭代只调整一个变量αi的值，其他变量的值在这次迭代中固定不变。

核心思想还是迭代

最里面语句的意思是固定除αi之外的所有αj(i不等于j)，这时W可看作只是关于αi的函数，那么直接对αi求导优化即可。这里我们进行最大化求导的顺序i是从1到m，可以通过更改优化顺序来使W能够更快地增加并收敛。

2.坐标下降法示例

寻找函数$f(x,y)=x^2+xy+y^2$的最小值处$(x^*,y^*)$

（图是函数投影到xoy平面的等高线图，颜色越深值越小）

起始点A需要到达F,那最快的方法就是图中黄色线的路径，一次性就到达了，其实这个是牛顿优化法，但如果是高维的话，这个方法就不太高效了，如果是高维的情况，而且目标函数很复杂的话，再加上样本集很多，那么在梯度下降中，目标函数对所有αi求梯度或者在牛顿法中对矩阵求逆，都是很耗时的。

我们也可以按照红色所指示的路径来走。从A开始，先固定x，沿着y轴往让f(x, y)值减小的方向走到B点，然后固定y，沿着x轴往让f(x, y)值减小的方向走到C点，不断循环，直到到达F*。

3.SMO算法

一次迭代优化两个$\alpha$而不是一个

原因这个优化问题存在约束也就是

因此，我们需要一次选取两个参数做优化，比如αi和αj，此时αi可以由αj和其他参数表示出来。这样回代入W中，W就只是关于αj的函数了，这时候就可以只对αj进行优化了。在这里就是对αj进行求导，令导数为0就可以解出这个时候最优的αj了。然后也可以得到αi。这就是一次的迭代过程，一次迭代只调整两个拉格朗日乘子αi和αj。

算法步骤：

重复下面过程直到收敛{

（1）选择两个拉格朗日乘子αi和αj；

（2）固定其他拉格朗日乘子αk(k不等于i和j)，只对αi和αj优化w(α);

（3）根据优化后的αi和αj，更新截距b的值

}

每次迭代都要选择最好的αi和αj，为了更快的收敛！那实践中每次迭代到底要怎样选αi和αj呢？采用启发式选择，主要思想是先选择最有可能需要优化（也就是违反KKT条件最严重）的αi，再针对这样的αi选择最有可能取得较大修正步长的αj。

4.凸优化问题终止条件：

SMO算法的基本思路是：如果说有变量的解都满足此最优化问题的KKT条件，那么这个最优化问题的解就得到了。因为KKT条件是该最优化问题的充分必要条件（证明请参考文献）。所以我们可以监视原问题的KKT条件，所以所有的样本都满足KKT条件，那么就表示迭代结束了。但是由于KKT条件本身是比较苛刻的，所以也需要设定一个容忍值，即所有样本在容忍值范围内满足KKT条件则认为训练可以结束；